Voorbeelden wiskunde
Op deze pagina vind je gebruiksvoorbeelden van TI-Nspire™ CAS uit verschillende onderdelen van de wiskunde.Basisberekeningen
Basisberekeningen met TI-Nspire CAS
TI-Nspire CAS is niet alleen voor complexe berekeningen – ook eenvoudige rekenkundige bewerkingen, wortels, machten en logaritmes zijn eenvoudig uit te voeren.
Werken met breuken
Werk met breuken en converteer tussen decimalen en exacte vormen. Probeer propFrac en exact.
Vermenigvuldigen en vereenvoudigen
TI-Nspire CAS vereenvoudigt algebraïsche expressies, verwerkt absolute waarden, logaritmen en wortels – ideaal voor oefenen en controleren.
Algebra
Vergelijkingen oplossen
Met het solve-commando lost TI-Nspire CAS vergelijkingen symbolisch of numeriek op. Let op het gebruik van de |-operator.
Logische operatoren
Logische operatoren (and, or, not, xor, nor, nand, ⇒, ⇔) worden gebruikt om met voorwaarden en logische uitspraken te werken. Haakjes zijn belangrijk, omdat ze de volgorde bepalen waarin voorwaarden worden geëvalueerd. Dezelfde notatie kan bijvoorbeeld worden gebruikt om oplossingsverzamelingen van ongelijkheden te vereenvoudigen.
Stelsels van vergelijkingen oplossen
De begeleide functie om stelsels van vergelijkingen op te lossen vind je onder 3: Algebra > 7: Vergelijkingen oplossen.
Je kunt later vergelijkingen toevoegen via SHIFT ENTER op het toetsenbord van de computer of met de 
-toets op de rekenmachine. De sjabloon 
kan ook handmatig worden ingevoerd: system(vgl1, vgl2).
Binomiale ontwikkeling met schuifregelaar
Verken de coëfficiënten en termen van het binomium van Newton door de exponent (n) aan te passen met een schuifregelaar. Stel de stapgrootte in op 1 (geheel getal) om te zien hoe de coëfficiënten van de driehoek van Pascal voor elke macht worden gevormd.
Stap voor stap een kwadratische vergelijking oplossen
Met CAS kun je berekeningen stap voor stap uitvoeren en je eigen denkproces ontwikkelen. Gebruik 'ans' om de vorige vergelijking op te halen of kopieer deze. Vergeet niet de volledige vergelijking tussen haakjes te zetten.
Som, product en gemiddelde van de nulpunten van een kwadratische vergelijking
Statistische commando’s zoals sum, mean en product zijn ook te gebruiken met CAS. Merk op dat het gemiddelde van de nulpunten overeenkomt met de x-coördinaat van de top van de parabool.
Speciale tabellen voor wiskundig gebruik
Gebruik de delingstabel om een polynoomdeling uit te voeren zoals op papier. Nieuwe rijen worden toegevoegd wanneer je met de pijltjestoetsen verder gaat.
In de waarheidstabel vind je sneltoetsen voor veelvoorkomende logische symbolen. Rijen en kolommen worden automatisch toegevoegd als je met de pijltjestoetsen navigeert. Je kunt waarden markeren met kleur.
Meetkunde
Cirkel en bol met CAS
De oppervlakte van een cirkel en het volume van een bol kunnen worden berekend met bepaalde integralen. De opdracht solve wordt gebruikt om y uit de cirkelvergelijking te isoleren.
Basis goniometrische functies
Trigonometrische functies worden ingevoerd door sin(, cos(, tan(, arcsin(, arccos( of arctan( te typen. De functies zijn ook beschikbaar via de TRIG-toets op het toetsenbord van de rekenmachine. Berekeningen gebruiken de hoekeenheid die is ingesteld in de instellingen, tenzij in de invoer een andere eenheid wordt opgegeven.
Hoekinstellingen
Standaard gebruikt TI-Nspire de hoekeenheid die is ingesteld in de documentinstellingen. Als de invoer een eenheid bevat, wordt deze omgerekend naar de eenheid die in de instellingen is vastgelegd. In Windows kan het °-symbool worden ingevoerd met CTRL + *, en Mac-toetsenborden hebben een speciale toets. Eenheden kunnen ook worden ingevoerd als @d of @r.
Meer bekijken
Computerweergave: De hoekeenheid wordt onderaan het scherm weergegeven. Dubbelklik op Settings om de documentinstellingen te openen. Met Make Default wordt dezelfde instelling toegepast op nieuwe documenten. Met OK gelden de instellingen alleen voor het huidige document.
Handheldweergave: De hoekeenheid kan direct worden gewijzigd door op de eenheid bovenaan het scherm te tikken (bijv. RAD).
Tip: De hoekinstelling van een rekenvak kan ook per berekening worden aangepast. Dit is handig als het resultaat in verschillende eenheden nodig is. Eenheidsconversie kan ook met de opdrachten @>DD en @>Rad.
Vectoren
Vectoren invoeren en opslaan
Vectoren kun je invoeren via de wiskundesjablonen of met het computertoetsenbord. Een rijvector typ je als [1,2 met komma’s en een kolomvector als [1;2 met puntkomma’s. Het afsluitende ] wordt automatisch toegevoegd. Sla vectoren op met := net als andere expressies.
Vectorberekeningen
Vectorbewerkingen en commando’s werken zoals in het voorbeeld.
Loodrechtheid en evenwijdigheid van vectoren
Vectoropgaven kunnen worden opgelost door de opdracht solve te combineren met vectoropdrachten. De afbeelding toont voorbeelden van loodrechte, evenwijdige en gelijkgerichte vectoren.
Drie punten op dezelfde lijn
Of drie punten op dezelfde lijn liggen, kan worden onderzocht met behulp van vectoren. Als de vectoren AB en AC evenwijdig zijn, liggen de punten op dezelfde lijn. Evenwijdigheid kan worden gecontroleerd met de opdracht solve of alternatief met het kruisproduct.
Vectoren en vectorbewerkingen
Je kunt snel vectoren toevoegen met de sneltoets V. Plaats een vector door de eindpunten met de muis te slepen of door een uitdrukking in te voeren zoals v=[3, 4] of v=3i+4j. Vervolgens kun je andere vectoren definiëren met uitdrukkingen zoals w=-v of w=2v. Een eenheidsvector maak je met v^0.
Hoek tussen vectoren
Het object ‘hoek tussen vectoren’ berekent en illustreert de hoek tussen twee vectoren. De vectoren die de hoek vormen worden weergegeven met stippellijnen, waardoor de hoek zichtbaar is, zelfs als de vectoren zich op verschillende plaatsen in de figuur bevinden. Verwijs naar de vectoren met hun namen.
Afgeleide
Differentiëren
Afgeleiden kunnen symbolisch worden berekend. Gebruik de |-operator om te evalueren bij x = waarde. Een begeleide optie is beschikbaar indien nodig.
Grafisch onderzoeken van de afgeleide met behulp van een raaklijn
Een raaklijn kan aan de grafiek worden toegevoegd via het menu Geometrie in de toepassing Grafieken door op het gewenste punt van de grafiek te klikken. Daarna kan de raaklijn langs de kromme worden verplaatst of nauwkeurig met behulp van coördinaten worden geplaatst. Deze methode is geschikt om het verband tussen de waarde van de afgeleide en de grafiek van de functie te illustreren.
Meer bekijken
Bepalen van de ligging van het minimum en maximum van een functie
Met de opdrachten fMin en fMax kun je de ligging van het minimum en maximum van een functie bepalen. Extremen kunnen uitgebreider worden onderzocht met behulp van de afgeleide. Met de opdracht solve kunnen de nulpunten van de afgeleide functie eenvoudig worden bepaald.
Meer bekijken
Limieten
Limieten kunnen worden berekend met behulp van de wiskundesjabloon 
. Als er + of - wordt ingevoerd in het richtingsveld, wordt dit geïnterpreteerd als een eenzijdige limiet.
Afgeleide via de limietdefinitie
De afgeleide kan worden gedefinieerd als de limiet van het differentiequotiënt. Eerst wordt het differentiequotiënt gevormd en daarna wordt de limiet bepaald.
Met CAS kan het differentiequotiënt symbolisch worden berekend en de limiet genomen met . Het resultaat komt overeen met de afgeleide en kan ook direct worden gecontroleerd met 
.
Limieten verkennen met schuifregelaar
Verken limieten dynamisch door de waarde van de variabele te veranderen met een schuifregelaar. Stel een kleine stapgrootte in voor de schuifregelaar om nauwkeurigere resultaten te krijgen nabij het kritieke punt. Je kunt de stapgrootte en andere instellingen aanpassen door met de rechtermuisknop op de schuifregelaar te klikken en 'Instellingen' te kiezen.
Afgeleiden in Rekenblad
In de toepassing Lijsten & Rekenblad kunnen afgeleiden direct in tabelcellen worden berekend. Een gebruikelijke werkwijze is om uitdrukkingen in één kolom te definiëren en hun afgeleiden in een andere. Afgeleiden kunnen ook rechtstreeks worden ingevoerd met behulp van het wiskundige sjabloon. Hogere orde afgeleiden kunnen direct worden berekend met behulp van het wiskundige sjabloon 
.
Integraal
Grafische illustratie van het integraalbegrip
De integraal kan grafisch worden onderzocht door een functie te tekenen en de integraal te selecteren met behulp van een begin- en eindpunt. Door de coördinaten van deze punten te wijzigen, wordt zichtbaar hoe de waarde van de integraal afhangt van de functie en het gekozen interval.
Integreren
Je kunt bepaalde en onbepaalde integralen berekenen. Voeg voorwaarden toe met de |-operator.
Cirkel en bol met CAS
De oppervlakte van een cirkel en het volume van een bol kunnen worden berekend met bepaalde integralen. De opdracht solve wordt gebruikt om y uit de cirkelvergelijking te isoleren.
Integraal als som
Een benaderde waarde van een integraal kan worden berekend met behulp van een som door het interval in deelintervallen te verdelen. Het aantal deelintervallen kan worden aangepast met een schuifregelaar, waardoor de nauwkeurigheid toeneemt. Als het aantal deelintervallen onbeperkt groeit, is de limiet van de som gelijk aan de exacte waarde van de integraal.
Oppervlakte tussen krommen
Met de hulpmiddelen in het menu Analyseren kan de oppervlakte tussen krommen grafisch worden onderzocht.
Oppervlakte tussen krommen met integralen
De oppervlakte tussen krommen kan worden berekend door de absolute waarde van het verschil tussen de functies te integreren. Integralen met een absolute waarde kunnen tot lastige berekeningen leiden, waardoor niet altijd direct een exact resultaat wordt verkregen. Het probleem kan dan worden opgesplitst door de onderlinge orde van de functies te bepalen.
Normale verdeling
Om kansen te berekenen bij een normale verdeling, kun je eerst de dichtheidsfunctie definiëren met normPdf 5: Kansrekening > 5: Verdelingen > 1: Normale Pdf..., en het resultaat berekenen met een integraal. Hetzelfde resultaat kan ook direct worden verkregen met de begeleide functie normCdf 5: Kansrekening > 5: Verdelingen > 2: Normale Cdf....
Numerieke integratie visualiseren
Een grafische visualisatie van numerieke integratie helpt om het concept zowel visueel als numeriek te begrijpen. Typ of plak een functie vanuit het klembord. Verhoog het aantal intervallen door de waarde van n aan te passen. Gebruik de pijltjestoetsen om te wisselen tussen rekenmethodes: linker som, middelpunt som, rechter som of trapeziummethode.
Visualiseren van wentellichamen
Voer één of twee functie-uitdrukkingen in de invoervelden in. Als er twee functies worden ingevoerd, wordt het gebied ertussen gearceerd om het volume weer te geven. Deze tool genereert snel visualisaties tijdens het bestuderen van het berekenen van het volume van wentellichamen met integralen.
Goniometrie
Basis goniometrische functies
Trigonometrische functies worden ingevoerd door sin(, cos(, tan(, arcsin(, arccos( of arctan( te typen. De functies zijn ook beschikbaar via de TRIG-toets op het toetsenbord van de rekenmachine. Berekeningen gebruiken de hoekeenheid die is ingesteld in de instellingen, tenzij in de invoer een andere eenheid wordt opgegeven.
Hoekinstellingen
Standaard gebruikt TI-Nspire de hoekeenheid die is ingesteld in de documentinstellingen. Als de invoer een eenheid bevat, wordt deze omgerekend naar de eenheid die in de instellingen is vastgelegd. In Windows kan het °-symbool worden ingevoerd met CTRL + *, en Mac-toetsenborden hebben een speciale toets. Eenheden kunnen ook worden ingevoerd als @d of @r.
Meer bekijken
Computerweergave: De hoekeenheid wordt onderaan het scherm weergegeven. Dubbelklik op Settings om de documentinstellingen te openen. Met Make Default wordt dezelfde instelling toegepast op nieuwe documenten. Met OK gelden de instellingen alleen voor het huidige document.
Handheldweergave: De hoekeenheid kan direct worden gewijzigd door op de eenheid bovenaan het scherm te tikken (bijv. RAD).
Tip: De hoekinstelling van een rekenvak kan ook per berekening worden aangepast. Dit is handig als het resultaat in verschillende eenheden nodig is. Eenheidsconversie kan ook met de opdrachten @>DD en @>Rad.
Bewerken van trigonometrische uitdrukkingen
Naast de standaardcommando’s expand() en factor() kun je bij trigonometrische functies ook tExpand() en tCollect() gebruiken. Hiermee kunnen trigonometrische uitdrukkingen in alternatieve vormen worden weergegeven.
Oplossen van trigonometrische vergelijkingen
Trigonometrische vergelijkingen kunnen in de CAS-omgeving worden opgelost met het commando solve(). De oplossingen kunnen in algemene vorm worden weergegeven met behulp van een gehele parameter of worden beperkt tot een specifiek interval door een voorwaarde toe te voegen. Indien nodig kunnen de oplossingen ook worden omgezet naar een lijst voor verdere verwerking.
Gehele constante (@n1)
Met een gehele constante kan de gelijkwaardigheid van verschillende voorstellingsvormen worden getest en kunnen trigonometrische uitdrukkingen in algemene vorm worden onderzocht. Een gehele constante wordt geschreven in de vorm @n1, waarbij het getal een vrij gekozen index is. Zo kunnen meerdere gehele constanten binnen dezelfde uitdrukking van elkaar worden onderscheiden.
Afgeleiden in Rekenblad
In de toepassing Lijsten & Rekenblad kunnen afgeleiden direct in tabelcellen worden berekend. Een gebruikelijke werkwijze is om uitdrukkingen in één kolom te definiëren en hun afgeleiden in een andere. Afgeleiden kunnen ook rechtstreeks worden ingevoerd met behulp van het wiskundige sjabloon. Hogere orde afgeleiden kunnen direct worden berekend met behulp van het wiskundige sjabloon .
Wortels
No content found for keyword: roots
Logaritme
Logaritmen berekenen
Logaritmen kunnen worden ingevoerd als log(getal, grondtal) of met behulp van de logaritmesjabloon 
. Als het grondtal wordt weggelaten, wordt de logaritme geïnterpreteerd als log met grondtal 10. De natuurlijke logaritme wordt geschreven als ln(). Het getal e kan worden ingevoerd als @e of gekozen via het 
-menu of het symboolpalet.
Logaritmische uitdrukkingen vereenvoudigen
Veel logaritmische uitdrukkingen kunnen worden vereenvoudigd door simpelweg op Enter te drukken. Als de uitdrukking variabelen bevat, moet je vaak een domein definiëren om vereenvoudiging mogelijk te maken. Je kunt ook expand en factor proberen. Deze kunnen handig zijn, maar leiden soms tot ongewenste vormen, zoals het ontbinden van grondgetallen.
Domein van de logaritmische functie
Met de opdracht domain(uitdrukking, variabele) zie je voor welke waarden de uitdrukking gedefinieerd is.
Grafisch verband tussen logaritmische en exponentiële functies
Je kunt de grafiek van een exponentiële functie tekenen en punten onderzoeken. Voeg een punt toe met de sneltoets P of via het geometriemenu. Klik op een punt op de grafiek om het langs de curve te laten bewegen. Bekijk de coördinaten nauwkeuriger door te dubbelklikken en bijvoorbeeld log(3,2) in te voeren.
Grondtal wijzigen bij logaritmen
Gebruik het commando 
logbase() of ln om de grondtal van een logaritme te wijzigen. Je vindt deze in 3: Algebra > A. Converteren. De pijl kun je typen als @>.
Kansberekening
Faculteit
Faculteiten worden berekend door simpelweg het !-symbool toe te voegen. Je kunt ook het faculteit van een hele lijst berekenen of het gebruiken in spreadsheets. In eenvoudige gevallen kunnen expressies met faculteiten worden vereenvoudigd met behulp van CAS.
Permutaties
Permutaties kunnen worden berekend met faculteiten of direct met de nPr-opdracht. Je vindt de opdracht in het menu onder 5: Kansrekening > 2: Permutaties. CAS-opdrachten kunnen ook worden gebruikt bij deze berekeningen.
Combinaties
Combinaties kunnen worden berekend met faculteiten of direct met de nCr-opdracht. Je vindt de opdracht in het menu onder 5: Kansrekening > 3: Combinaties. CAS-opdrachten kunnen ook worden gebruikt bij deze berekeningen.
Normale verdeling
Om kansen te berekenen bij een normale verdeling, kun je eerst de dichtheidsfunctie definiëren met normPdf 5: Kansrekening > 5: Verdelingen > 1: Normale Pdf..., en het resultaat berekenen met een integraal. Hetzelfde resultaat kan ook direct worden verkregen met de begeleide functie normCdf 5: Kansrekening > 5: Verdelingen > 2: Normale Cdf....
Vergelijkingen met betrekking tot de normale verdeling
Met de begeleide normCdf-opdracht, te vinden in het menu 5: Kansrekening > 5: Verdelingen > 2: Normale Cdf..., kun je kansen berekenen. In combinatie met solve kun je ontbrekende waarden bepalen, zoals de bovengrens, het gemiddelde of de standaardafwijking. Sommige vergelijkingen vereisen een beginwaarde om een oplossing te vinden. Je kunt ook de dichtheidsfunctie gebruiken in combinatie met een integraal.
Binomiale verdeling
De binomiale kansfunctie kan worden gedefinieerd met de opdracht binomPdf 5: Kansrekening > 5: Verdelingen > A: Binomiale Pdf.... Om de kans voor meerdere waarden te berekenen, kun je een som gebruiken of de begeleide functie binomCdf 5: Kansrekening > 5: Verdelingen > B: Binomiale Cdf..., die de som automatisch berekent.
Statistiek
Statistische berekeningen in de app Notities
Gegevens kun je definiëren door ze in een variabele op te slaan of door ze in een tabel in te voeren. Daarna kun je kengetallen berekenen via het menu 6: Statistics > 3: List Math. Je kunt ook alle kengetallen in één keer berekenen door 6: Statistics > 1: Stat Calculations > 1: One-Variable Statistics te kiezen.
Statistische berekeningen in een tabel
Wanneer de gegevens in een tabel zijn ingevoerd en de kolom een naam heeft, kunnen één-variabele-statistieken worden berekend door 6: Statistics > 1: Stat Calculations > 1: One-Variable Statistics te kiezen.
Meer bekijken
Één-variabele statistiek met frequentielijst
Als de gegevens bestaan uit waarden met frequenties in een aparte kolom, kun je één-variabele statistiek berekenen door 6: Statistics > 1: Stat Calculations > 1: One-Variable Statistics te kiezen en de Frequency List op de frequentiekolom te zetten.
Meer bekijken
Berekenen van een frequentietabel
Als er geen frequentielijst is gegeven, kan deze worden gemaakt met het commando frequency.
Getaltheorie
Grootste gemene deler en kleinste gemene veelvoud
Met de opdrachten `gcd` en `lcm` kunnen de grootste gemene deler en het kleinste gemene veelvoud van gehele getallen worden berekend.
Ontbinding en priemgetallen
Met de opdracht factor kan een geheel getal in ontbonden vorm worden weergegeven. Met de opdracht isPrime kan worden gecontroleerd of een getal een priemgetal is.
Rest en modulaire rekenkunde
De rest kan worden berekend met het commando mod(). Het commando remain() berekent ook een rest; het verschil treedt op bij negatieve getallen. Als de numtheory-bibliotheek beschikbaar is, kan pwrmod worden gebruikt om resten van grote getallen te berekenen die de numerieke grenzen overschrijden.
Resten in een tabel
In een tabel kunnen getallenreeksen en bijbehorende resten worden onderzocht. De opdracht seq() genereert een reeks en mod() kan op een volledige kolom worden toegepast via de formulebalk.
Diophantische vergelijking
Er is geen aparte opdracht om een diophantische vergelijking op te lossen, maar het gehele getal n1 kan worden gebruikt om een oplossing op te stellen en te controleren. De geheelgetalconstante kan via het toetsenbord worden ingevoerd als @n1, waarbij 1 een index is om meerdere geheelgetalconstanten te onderscheiden.
Talstelselconversies
In TI-Nspire kunnen gehele getallen worden omgezet tussen verschillende talstelsels, zoals decimaal, binair en hexadecimaal. Binaire getallen gebruiken het voorvoegsel 0b en hexadecimale getallen 0h. Zonder voorvoegsel wordt een getal als decimaal geïnterpreteerd.
Omzetten kan met Base-commando’s of door bijvoorbeeld 10@>Base2 via het toetsenbord te typen.
Als de basisinstelling van het document wordt gewijzigd, worden resultaten standaard in de gekozen basis weergegeven. Afzonderlijke resultaten kunnen indien nodig nog steeds apart worden omgezet.
Logica
Logische operatoren
Logische operatoren (and, or, not, xor, nor, nand, ⇒, ⇔) worden gebruikt om met voorwaarden en logische uitspraken te werken. Haakjes zijn belangrijk, omdat ze de volgorde bepalen waarin voorwaarden worden geëvalueerd. Dezelfde notatie kan bijvoorbeeld worden gebruikt om oplossingsverzamelingen van ongelijkheden te vereenvoudigen.
Logische vereenvoudigingen en tautologieën
Logische expressies kunnen worden vereenvoudigd en onderzocht als tautologieën. Implicatie kan worden geschreven als => en equivalentie als <=>.
Speciale tabellen voor wiskundig gebruik
Gebruik de delingstabel om een polynoomdeling uit te voeren zoals op papier. Nieuwe rijen worden toegevoegd wanneer je met de pijltjestoetsen verder gaat.
In de waarheidstabel vind je sneltoetsen voor veelvoorkomende logische symbolen. Rijen en kolommen worden automatisch toegevoegd als je met de pijltjestoetsen navigeert. Je kunt waarden markeren met kleur.