Esempi di matematica
In questa pagina troverai esempi di utilizzo di TI-Nspire™ CAS in diversi ambiti della matematica.Calcoli di base
Calcoli di base con TI-Nspire CAS
TI-Nspire CAS non gestisce solo operazioni complesse, ma anche l’aritmetica di base, le radici, le potenze e i logaritmi, rendendo semplice verificare ed esplorare la matematica di tutti i giorni.
Lavorare con le frazioni
Lavora con le frazioni e converti tra decimali e forme esatte. Prova i comandi propFrac ed exact.
Semplificazione delle espressioni
TI-Nspire CAS semplifica le espressioni algebriche e gestisce valori assoluti, logaritmi e radici, rendendolo uno strumento potente sia per esercitarsi sia per la verifica.
Algebra
Fattorizzazione delle espressioni
Il comando factor riscrive le espressioni come prodotto di fattori.
Risoluzione delle equazioni
Con il comando solve, TI-Nspire CAS risolve le equazioni in modo simbolico o numerico. Nota l’uso dell’operatore |.
Operatori logici
Gli operatori logici (and, or, not, xor, nor, nand, ⇒, ⇔) si usano per gestire condizioni e proposizioni logiche. Le parentesi sono importanti perché determinano l’ordine di valutazione delle condizioni. La stessa notazione può essere usata, ad esempio, per semplificare gli insiemi soluzione delle disequazioni.
Risoluzione di sistemi di equazioni
Lo strumento guidato per risolvere sistemi di equazioni si trova in 3: Algebra > 7: Solve System of Equations.
È possibile aggiungere altre equazioni in un secondo momento utilizzando SHIFT ENTER sulla tastiera del computer oppure il tasto 
sulla calcolatrice. Il modello di sistema 
può anche essere digitato manualmente: system(eq1, eq2).
Sviluppo binomiale con cursore
Esplora i coefficienti e i termini dello sviluppo binomiale modificando l'esponente (n) con un cursore. Imposta l'incremento del cursore a 1 (intero) per vedere come si formano i coefficienti del triangolo di Pascal per ogni potenza.
Risoluzione passo per passo di un’equazione quadratica
Con il CAS, i calcoli possono essere eseguiti passo dopo passo, aiutando a sviluppare il proprio ragionamento. Puoi usare ans per richiamare l’equazione precedente oppure copiarla. Assicurati di racchiudere l’intera equazione tra parentesi.
Somma, prodotto e media delle radici di un’equazione quadratica
I comandi statistici come sum, mean e product possono essere utilizzati anche con il CAS. Nota come la media delle radici corrisponda alla coordinata x del vertice della parabola.
Tabelle speciali per l’uso matematico
Utilizza la tabella di divisione per eseguire la divisione di polinomi come su carta. Nuove righe vengono aggiunte man mano che procedi con i tasti freccia.
Nella tabella di verità trovi scorciatoie rapide per i simboli logici più comuni. Righe e colonne vengono aggiunte automaticamente quando ti muovi con i tasti freccia. Puoi evidenziare i valori usando il colore.
Geometria
Cerchio e sfera con CAS
È possibile calcolare l’area di un cerchio o il volume di una sfera utilizzando integrali definiti. Il comando solve viene usato per isolare y dall’equazione del cerchio.
Funzioni trigonometriche di base
Le funzioni trigonometriche si inseriscono digitando sin(, cos(, tan(, arcsin(, arccos( o arctan(. Le funzioni sono disponibili anche tramite il tasto TRIG sulla tastiera della calcolatrice. I calcoli utilizzano l’unità angolare definita nelle impostazioni, a meno che non venga specificata un’unità diversa nell’input.
Impostazioni dell’angolo
Per impostazione predefinita, TI-Nspire utilizza l’unità angolare definita nelle impostazioni del documento. Se l’input contiene un’unità, questa viene convertita nell’unità specificata nelle impostazioni. In Windows il simbolo ° può essere inserito con CTRL + *, mentre le tastiere Mac includono un tasto dedicato. Le unità possono essere inserite anche come @d o @r.
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Vista computer: L’unità di angolo è mostrata nella parte inferiore dello schermo. Fai doppio clic su Settings per aprire le impostazioni del documento. Selezionando Make Default la stessa impostazione verrà applicata ai nuovi documenti. Selezionando OK le impostazioni si applicano solo al documento corrente.
Vista palmare: L’unità di angolo può essere modificata direttamente toccando l’unità mostrata nella parte superiore dello schermo (ad esempio RAD).
Suggerimento: L’impostazione dell’angolo di una casella matematica può essere modificata anche calcolo per calcolo. Questo è utile se il risultato serve in unità diverse. La conversione di unità può essere effettuata anche con i comandi @>DD e @>Rad.
Vettori
Calcoli vettoriali
Le operazioni e i comandi sui vettori funzionano come mostrato nell’esempio.
Perpendicolarità e parallelismo dei vettori
I problemi sui vettori possono essere risolti combinando il comando solve con i comandi vettoriali. L’immagine mostra esempi di vettori perpendicolari, paralleli e con la stessa direzione.
Tre punti sulla stessa retta
L’appartenenza di tre punti alla stessa retta può essere analizzata mediante vettori. Se i vettori AB e AC sono paralleli, i punti si trovano sulla stessa retta. Il parallelismo può essere verificato con il comando solve oppure, in alternativa, tramite il prodotto vettoriale.
Vettori e operazioni sui vettori
Puoi aggiungere rapidamente vettori usando il tasto di scelta rapida V. Posiziona un vettore trascinando gli estremi con il mouse oppure inserendo un’espressione come v=[3, 4] oppure v=3i+4j. Successivamente puoi definire altri vettori con espressioni come w=-v oppure w=2v. Un vettore unitario si crea inserendo v^0.
Angolo tra vettori
L’oggetto angolo tra vettori calcola e illustra l’angolo tra due vettori. I vettori che formano l’angolo sono disegnati con linee tratteggiate, rendendo l’angolo visibile anche se i vettori si trovano in posizioni diverse nel diagramma. Fai riferimento ai vettori usando i loro nomi.
Derivata
Derivazione
Le derivate possono essere calcolate simbolicamente. Usa l’operatore | per valutare in un punto specifico. È disponibile anche un’opzione guidata, se necessario.
Studio grafico della derivata mediante la tangente
Una tangente può essere aggiunta al grafico dal menu Geometria nell’applicazione Grafici facendo clic sul punto desiderato del grafico. La tangente può quindi essere spostata lungo la curva o posizionata con precisione tramite le coordinate. Questo metodo è adatto per illustrare la relazione tra il valore della derivata e il grafico della funzione.
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Determinazione della posizione del minimo e del massimo di una funzione
Con i comandi fMin e fMax è possibile determinare la posizione del minimo e del massimo di una funzione. Gli estremi possono essere studiati in modo più approfondito tramite la derivata. Con il comando solve si possono determinare facilmente gli zeri della funzione derivata.
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Limiti
I limiti possono essere calcolati utilizzando il modello matematico 
. Se viene inserito + o - nel campo della direzione, l'espressione viene interpretata come un limite unilaterale.
Derivata tramite la definizione di limite
La derivata può essere definita come il limite del rapporto incrementale. Si forma prima il rapporto incrementale e poi si calcola il suo limite.
Con il CAS è possibile calcolare simbolicamente il rapporto incrementale e determinare il limite con . Il risultato corrisponde alla derivata e può essere verificato direttamente con 
.
Esplorare i limiti con un cursore
Esplora i limiti in modo dinamico modificando il valore della variabile con un cursore. Per ottenere risultati più precisi vicino al punto critico, imposta un incremento (step) piccolo per il cursore. Puoi modificare l'incremento e altre impostazioni facendo clic con il tasto destro sul cursore e selezionando 'Impostazioni'.
Derivate in Liste e Foglio di calcolo
Nell’applicazione Liste e Foglio di calcolo, le derivate possono essere calcolate direttamente nelle celle della tabella. Un utilizzo tipico consiste nel definire le espressioni in una colonna e calcolarne le derivate in un’altra. Le derivate possono anche essere inserite direttamente utilizzando il modello matematico. Le derivate di ordine superiore possono essere calcolate direttamente tramite il modello matematico 
.
Integrale
Illustrazione grafica del concetto di integrale
L’integrale può essere esplorata graficamente tracciando una funzione e selezionando l’integrale tramite un punto iniziale e uno finale. Modificando le coordinate di questi punti, è possibile illustrare come il valore dell’integrale dipenda dalla funzione e dall’intervallo considerato.
Integrazione
È possibile calcolare integrali definiti e indefiniti. Aggiungi condizioni utilizzando l’operatore |.
Cerchio e sfera con CAS
È possibile calcolare l’area di un cerchio o il volume di una sfera utilizzando integrali definiti. Il comando solve viene usato per isolare y dall’equazione del cerchio.
Integrale come somma
Il valore approssimato di un integrale può essere calcolato mediante una somma dividendo l’intervallo in sottointervalli. Il numero di sottointervalli può essere regolato con un cursore, migliorando la precisione della somma. Quando il numero di sottointervalli cresce senza limite, il valore limite della somma coincide con il valore esatto dell’integrale.
Area tra due curve
Con gli strumenti del menu Analizza è possibile studiare graficamente l’area tra le curve.
Area tra due curve tramite integrali
L’area tra due curve può essere calcolata integrando il valore assoluto della differenza tra le funzioni. Le integrali con valore assoluto possono portare a calcoli complessi, per cui un risultato esatto non è sempre ottenibile direttamente. Il problema può quindi essere suddiviso determinando l’ordine delle funzioni.
Distribuzione normale
Per calcolare probabilità con una distribuzione normale, puoi prima definire la funzione di densità con normPdf 5: Probabilità > 5: Distribuzioni > 1: Normale Pdf..., e poi calcolare il risultato con un integrale. Lo stesso risultato si può ottenere più direttamente con la funzione guidata normCdf 5: Probabilità > 5: Distribuzioni > 2: Normale Cdf....
Visualizzazione dell’integrazione numerica
Una visualizzazione grafica dell’integrazione numerica aiuta a comprendere il concetto sia dal punto di vista visivo sia numerico. Puoi digitare o incollare una funzione direttamente dagli appunti. Aumenta il numero di intervalli regolando il valore di n. Usa i tasti freccia per passare tra i metodi di calcolo: somma sinistra, somma al punto medio, somma destra o metodo dei trapezi.
Visualizzazione dei solidi di rivoluzione
Scrivi o incolla una o due espressioni di funzione nei campi di input. Se vengono inserite due funzioni, la regione compresa tra esse viene evidenziata per rappresentare il volume. Questo strumento consente di generare rapidamente visualizzazioni durante lo studio del calcolo del volume dei solidi di rivoluzione mediante integrali.
Trigonometria
Funzioni trigonometriche di base
Le funzioni trigonometriche si inseriscono digitando sin(, cos(, tan(, arcsin(, arccos( o arctan(. Le funzioni sono disponibili anche tramite il tasto TRIG sulla tastiera della calcolatrice. I calcoli utilizzano l’unità angolare definita nelle impostazioni, a meno che non venga specificata un’unità diversa nell’input.
Impostazioni dell’angolo
Per impostazione predefinita, TI-Nspire utilizza l’unità angolare definita nelle impostazioni del documento. Se l’input contiene un’unità, questa viene convertita nell’unità specificata nelle impostazioni. In Windows il simbolo ° può essere inserito con CTRL + *, mentre le tastiere Mac includono un tasto dedicato. Le unità possono essere inserite anche come @d o @r.
Vedi di più
Vista computer: L’unità di angolo è mostrata nella parte inferiore dello schermo. Fai doppio clic su Settings per aprire le impostazioni del documento. Selezionando Make Default la stessa impostazione verrà applicata ai nuovi documenti. Selezionando OK le impostazioni si applicano solo al documento corrente.
Vista palmare: L’unità di angolo può essere modificata direttamente toccando l’unità mostrata nella parte superiore dello schermo (ad esempio RAD).
Suggerimento: L’impostazione dell’angolo di una casella matematica può essere modificata anche calcolo per calcolo. Questo è utile se il risultato serve in unità diverse. La conversione di unità può essere effettuata anche con i comandi @>DD e @>Rad.
Manipolazione delle espressioni trigonometriche
Oltre ai comandi standard expand() e factor(), è possibile utilizzare tExpand() e tCollect() con le funzioni trigonometriche. Questi consentono di rappresentare le espressioni trigonometriche in forme alternative.
Risoluzione delle equazioni trigonometriche
Le equazioni trigonometriche possono essere risolte nell’ambiente CAS utilizzando il comando solve(). Le soluzioni possono essere espresse in forma generale tramite un parametro intero oppure limitate a un intervallo specifico aggiungendo una condizione. Se necessario, le soluzioni possono anche essere convertite in una lista per ulteriori elaborazioni.
Costante intera (@n1)
Una costante intera può essere utilizzata per verificare l’equivalenza di diverse forme di rappresentazione e per lavorare con espressioni trigonometriche in forma generale. Una costante intera si scrive nella forma @n1, dove il numero è un indice scelto liberamente. In questo modo è possibile distinguere più costanti intere quando vengono utilizzate nella stessa espressione.
Derivate in Liste e Foglio di calcolo
Nell’applicazione Liste e Foglio di calcolo, le derivate possono essere calcolate direttamente nelle celle della tabella. Un utilizzo tipico consiste nel definire le espressioni in una colonna e calcolarne le derivate in un’altra. Le derivate possono anche essere inserite direttamente utilizzando il modello matematico. Le derivate di ordine superiore possono essere calcolate direttamente tramite il modello matematico .
Radici
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Logaritmo
Calcolo dei logaritmi
I logaritmi possono essere inseriti come log(numero, base) oppure utilizzando il modello di logaritmo 
. Se si omette la base, il logaritmo è interpretato come in base 10. Il logaritmo naturale si scrive ln(). Il numero e può essere digitato come @e o selezionato dal menu 
o dalla palette dei simboli.
Semplificazione di espressioni logaritmiche
Molte espressioni logaritmiche possono essere semplificate semplicemente premendo Invio. Se le espressioni includono variabili, è spesso necessario definire un dominio per permettere la semplificazione. Puoi anche provare i comandi expand e factor. Possono essere utili, ma talvolta producono forme indesiderate, come la scomposizione della base.
Dominio della funzione logaritmica
Il comando domain(espressione, variabile) mostra per quali valori dell'incognita l'espressione è definita.
Collegamento grafico tra funzione logaritmica ed esponenziale
Puoi tracciare il grafico di una funzione esponenziale ed esplorare i punti. Aggiungi un punto con il tasto di scelta rapida P o dal menu Geometria. Facendo clic su un punto del grafico, questo si muove lungo la curva. Puoi analizzare meglio le coordinate facendo doppio clic e inserendo, ad esempio, log(3,2).
Cambio di base per i logaritmi
Usa il comando 
logbase() o ln per cambiare la base di un logaritmo. I comandi si trovano nel menu 3: Algebra > A. Converti. La freccia si può digitare come @>.
Probabilità
Fattoriale
I fattoriali si calcolano semplicemente aggiungendo il simbolo !. È anche possibile calcolare il fattoriale di un elenco o utilizzarlo nei fogli di calcolo. Nei casi semplici, le espressioni con fattoriali possono essere semplificate con l’aiuto del CAS.
Permutazioni
Le permutazioni si possono calcolare usando i fattoriali oppure direttamente con il comando nPr. Puoi trovare il comando nel menu sotto 5: Probabilità > 2: Permutazioni. È possibile utilizzare anche comandi CAS nei calcoli.
Combinazioni
Le combinazioni si possono calcolare usando i fattoriali oppure direttamente con il comando nCr. Puoi trovare il comando nel menu sotto 5: Probabilità > 3: Combinazioni. È possibile utilizzare anche comandi CAS nei calcoli.
Distribuzione normale
Per calcolare probabilità con una distribuzione normale, puoi prima definire la funzione di densità con normPdf 5: Probabilità > 5: Distribuzioni > 1: Normale Pdf..., e poi calcolare il risultato con un integrale. Lo stesso risultato si può ottenere più direttamente con la funzione guidata normCdf 5: Probabilità > 5: Distribuzioni > 2: Normale Cdf....
Equazioni relative alla distribuzione normale
Il comando guidato normCdf, che si trova nel menu 5: Probabilità > 5: Distribuzioni > 2: Normale Cdf..., permette di calcolare una probabilità. Combinato con solve, puoi determinare valori mancanti come il limite superiore, la media o la deviazione standard. Alcune equazioni richiedono una stima iniziale per trovare la soluzione. In alternativa, è possibile usare la funzione di densità con un integrale.
Distribuzione binomiale
La funzione di probabilità binomiale può essere definita con il comando binomPdf 5: Probabilità > 5: Distribuzioni > A: Binomiale Pdf.... Per calcolare la probabilità su più valori, si può usare una somma o il comando guidato binomCdf 5: Probabilità > 5: Distribuzioni > B: Binomiale Cdf..., che calcola automaticamente la somma.
Statistica
Calcoli statistici nell’app Note
I dati possono essere definiti salvandoli in una variabile oppure inserendoli in una tabella. In seguito puoi calcolare gli indici statistici dal menu 6: Statistics > 3: List Math. In alternativa, puoi calcolare tutti gli indici in una volta selezionando 6: Statistics > 1: Stat Calculations > 1: One-Variable Statistics.
Calcoli statistici in una tabella
Quando i dati sono inseriti in una tabella e la colonna è stata nominata, è possibile eseguire la statistica a una variabile selezionando 6: Statistics > 1: Stat Calculations > 1: One-Variable Statistics.
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Statistiche a una variabile con lista delle frequenze
Se i dati sono forniti come valori con le frequenze in una colonna separata, le statistiche a una variabile si possono calcolare selezionando 6: Statistics > 1: Stat Calculations > 1: One-Variable Statistics e impostando Frequency List sulla colonna delle frequenze.
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Calcolo di una tabella di frequenze
Se non viene fornita una lista di frequenze, è possibile crearla con il comando frequency.
Teoria dei numeri
Massimo comune divisore e minimo comune multiplo
I comandi `gcd` e `lcm` permettono di calcolare il massimo comune divisore e il minimo comune multiplo di numeri interi.
Fattorizzazione e numeri primi
Il comando factor consente di scrivere un numero intero in forma fattorizzata. Il comando isPrime consente di verificare se un numero è primo.
Resto e aritmetica modulare
Il resto può essere calcolato con il comando mod(). Anche il comando remain() calcola il resto; la differenza emerge con numeri negativi. Se la libreria numtheory è disponibile, il comando pwrmod consente di calcolare resti di numeri grandi che superano i limiti numerici.
Resti in una tabella
In una tabella è possibile esaminare successioni di numeri e i relativi resti. Il comando seq() genera una successione e mod() può essere applicato a un’intera colonna inserendo il comando nella riga della formula.
Equazione diofantea
Non esiste un comando dedicato per risolvere un’equazione diofantea, ma l’intero n1 può essere usato per costruire e verificare una soluzione. La costante intera può essere inserita dalla tastiera nella forma @n1, dove 1 è un indice usato per distinguere più costanti intere.
Conversioni di base
In TI-Nspire, i numeri interi possono essere convertiti tra diversi sistemi di numerazione, come decimale, binario ed esadecimale. I numeri binari utilizzano il prefisso 0b e quelli esadecimali 0h. Senza prefisso, un numero è interpretato come decimale.
La conversione può essere eseguita con i comandi Base oppure digitando, ad esempio, 10@>Base2 dalla tastiera.
Se nelle impostazioni del documento viene modificata la base, i risultati vengono mostrati per impostazione predefinita nella base selezionata. I singoli risultati possono comunque essere convertiti separatamente se necessario.
Logica
Operatori logici
Gli operatori logici (and, or, not, xor, nor, nand, ⇒, ⇔) si usano per gestire condizioni e proposizioni logiche. Le parentesi sono importanti perché determinano l’ordine di valutazione delle condizioni. La stessa notazione può essere usata, ad esempio, per semplificare gli insiemi soluzione delle disequazioni.
Semplificazioni logiche e tautologie
Le espressioni logiche possono essere semplificate e analizzate come tautologie. L’implicazione può essere scritta come => e l’equivalenza come <=>.
Tabelle speciali per l’uso matematico
Utilizza la tabella di divisione per eseguire la divisione di polinomi come su carta. Nuove righe vengono aggiunte man mano che procedi con i tasti freccia.
Nella tabella di verità trovi scorciatoie rapide per i simboli logici più comuni. Righe e colonne vengono aggiunte automaticamente quando ti muovi con i tasti freccia. Puoi evidenziare i valori usando il colore.